pedels, desde la amígdala

Hace poco tuve la oportunidad de pasar unos días en estados unidos de turismo.

De camino al hotel, el conductor nos indicó que para cambiar de grados Fahrenheit a Celsius de forma fácil solo teníamos que aplicar esta fórmula:

C=(F-30)/2

Siendo C los grados Celsius y F los grados Fahrenheit. El cambio inverso sería:

F=2*C+30

Y mi cerebro de ingeniero (profundamente trastornado) no se lo pudo creer sin más, ¿es esta fórmula válida?. Pues vamos a comprobarlo.

Los grados Fahrenheit creados por Daniel Gabriel Fahrenheit nos suenan raro en los países donde es de uso común el SI de unidades pero es de uso común en unos pocos países como Estados Unidos de América. Su símbolo es ºF.

En esta escala el agua se congela a 32 ºF e hierve a 212 ºF.

Nos suena raro pero es tan válido como cualquier otra escala, ya que todas son arbitrarias, solo es cuestión de ponerse de acuerdo (lo que no sucedió entre EEUU y el resto del mundo en esto de las unidades).

Por otro lado los grados Celsius fueron creados por Anders Celsius y adoptados por el sistema internacional. Estos grados tienen la ventaja de estar basados en la congelación y ebullición del agua y la mayoría de nuestra vida transcurre entre esas dos temperaturas por lo que son una medida bastante intuitiva y cómoda. Su símbolo es ºC.

Por tanto el agua se congela a 0 ºC e hierve a 100 ºC.

Estas dos unidades tienen el inconveniente de que el “tamaño” del grado no es igual por lo que no nos basta con sumar o restar sino que es necesario un factor de conversión. Utilizando nuestros conocimientos de matemáticas podemos trazar fácilmente una ecuación de recta de conversión entre ambas (o mirarla en la Wikipedia), La fórmula exacta de conversión es :

C = (F-32)/1.8

Y el camino inverso:

F=C*1.8+32

¡Vaya! La fórmula se parece mucho a la que nos proporcionaron pero más dificil (yo no se dividir de cabeza por 1.8). ¿Cómo de buena es esta fórmula apróximada frente a la exacta?

Para saber esto necesitamos hacer algunos numerítos. En una hoja de cálculo he obtenido la conversión entre ºC y ºF usando las fórmulas exacta y aproximada. He realizado los cálculos para la conversión de ºF a ºC y viceversa.

Conversión de ºC a ºF

Esto interesará sobre todos a los estadounidenses, más adelante está el cambio inverso.

Podemos ver la conversión de ºC a ºF en esta gráfica:

Se ha etiquetado la fórmula exacta como ºF y la aproximada como ºF~. Vemos que la fórmula aproximada es exacta para 10 ºC pero tiene error para el resto de valores. ¿Cuánto vale ese error?

Para calcular el error absoluto tan solo hemos de buscar la diferencia en valor absoluto de la aproximación y el valor real. Esto se representa fácilmente:

Vemos como el error absoluto es cero a 10 ºC por lo que la fórmula es exacta pero crece conforme nos alejamos de este valor. ¿Cómo de importante es este error?

Para saber esto necesitamos calcular el error relativo que mide porcentualmente cuanto es el error respecto del valor real. Para calcularlo sólo tenemos que hacer:

ER=EA/VR*100 (%)

Y podemos representarlo en una gráfica:

He truncado los datos en -10 ºC por un motivo que ahora se verá. Cómo observamos el error es cero para 10 ºC y muy pequeño en su entorno.

Si aumenta ºC el error crece pero cada vez crece más despacio, es decir, el error relativo aumenta pero cada vez a un ritmo menor. Conforme aumenten los valores el error relativo tenderá a ser casi constante con lo que se podría ajustar la fórmula para ser casi exacta. Esto es razonable ya que unos cuantos grados en mil grados pesa poco y como las cantidades crecen más rápido que el error pues su relevancia cada vez es menor.¿Y hacia el cero?

Aquí la situación es bien distinta, el error relativo crece y crece y crece. Llegando a un valor del 1400% de Error Relativo. ¿Cómo? Sí, 1400%, podemos verlo:

Esto sucede ya que al acercarnos a 0 ºF el error se hace comparable a la medida. Y cuando creemos estar a -6 ºF según la fórmula aproximada, estaremos en realidad a -0,4 ºF con lo que el error es de 5,6 ºF o 1400% del valor real. El frío que pasaremos es aproximadamente el mismo.

En realidad la gráfica no representa el valor real al estar compuesta de la unión de muestras discretas. El Error Relativo no tiene su máximo en 1400% sino en infinito. Esto sucede para el valor de 0 ºF (-17.77… ºC), en la gráfica del Error Relativo de la conversión de ºF a ºC que hay más adelante se puede observar este fenómeno.

A medida que seguimos disminuyendo el Error Relativo decrece y la gráfica hacia valores menores se comportará de forma simétrica a lo que hemos visto. El Error Relativo descenderá hasta ser cero para después crecer pero con una tasa de crecimiento que disminuye por lo que tenderá a estabilizarse.

Conversión de ºF a ºC

Este cambio es de mucho más interés para el resto del mundo a los que nos cuesta entender que estemos pelados de frio a 30 ºF.

Al igual que antes podemos ver la conversión con la fórmula exacta (ºC) y aproximada (ºC~) en una gráfica:

De forma similar a antes el error cero se alcanza a los 10 ºC (50 ºF) y crece hacia izquierda y derecha.

Podemos representar el Error Absoluto de nuevo:

El Error Abosluto es similar al de la fórmula inversa solo que ahora el error tiene valores menores, se podría decir que los ºC son más ‘grandes’ por lo que un error de la misma magnitud real es ‘más pequeño’ usando ºC.

El más interesante es el Error Relativo. Vemos un fragmento de la gráfica:

Es muy similar a la de la conversión inversa, sólo que esta vez el Error Relativo es mayor ya que el Error Absoluto es de una magnitud más similar al valor real, lo que hace que relativamente sea un error más importante. El error cero se alcanza claramente en (50 ºF, 0 ºC) y el Error Relativo empieza crecer mucho conforme nos desplazamos por la gráfica hacia la izquierda.

En esa parte del gráfico sucede algo interesante y es que tenemos una asíntota en 0 ºC. En este punto el Error Absoluto es 1 y el valor real 0 ºC. Y las matemáticas (que no el sentido común) nos dicen que 1 es infinitamente mayor que 0 por lo que el error relativo es infinito. Para los que no lo vean se puede preguntar ¿por cuánto hay que multiplicar 0 para que te de uno? Pues por ahí van los tiros. Esto fenómeno es el que se comento en la gráfica del Error Relativo de ºC a ºF pero que no aparecía.

Al igual que antes a partir de aquí tendremos simetría respecto a la asíntota.

¿Es buena la fórmula?

A efectos prácticos SÍ.

Podemos ver los rangos en que tenemos un Error Relativo menor del 5% en ambas conversiones aproximadas.

• De ºF a ºC sucede en el rango aproximado de 44.6 ºF (7 ºC) a 68 ºF (20 ºC).
• De ºC a ºF sucede en el rango aproximado de 1-2 ºC (33.8-35.6 ºF) a 33 ºC (91.4 ºF).

Como vemos la fórmula aproximada se comporta mucho mejor para convertir de ºC a ºF que el camino inverso.

Las zonas con un Error Relativo mayor del 15% para ambas conversiones:

• De ºF a ºC aproximadamente entre -4 ºF (-20 ºC) a 39.2 ºF (4 ºC).
• De ºC a ºF aproximadamente (considerando la simetría) entre -28 ºC (-18.4 ºF) a -6 ºC (21.2 ºF).

Vemos que en este rango de temperaturas salen más o menos igual paradas, algo mejor la conversión de ºC a ºF.

Conclusión

Siendo pragmáticos, la fórmula nos da un valor aceptable en ambos sentidos ya que en las temperaturas en las que un humano suele salir a la calle funciona más o menos bien y, cuando hace mucho calor o mucho frío, la fórmula falla por algunos grados pero, probablemente, sea la menor de nuestras preocupaciones si estamos congelados o asados.